例 9.28

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• 例 9.86
• 例 9.91
• 例 9.92
• 例 9.104
• 例 9.113
• 例 9.123
• 例 9.125

例 9.28

设 $V$ 是 $n$ 维内积空间，$\phi$ 是 $V$ 上的正规算子，$\alpha$ 是 $V$ 中的非零向量， 求证：$\alpha$ 是 $\phi$ 属于特征值 $\lambda$ 的特征向量的充要条件是 $\alpha$ 是 ${\phi }^{\ast }$ 属于特征值 $\bar{\lambda }$ 的特征向量。

解答

证明 先证明对任意的 $\alpha \in V$，有 $\Vert \phi (\alpha )\Vert =\Vert {\phi }^{\ast }(\alpha )\Vert$。 因为 $\phi$ 是正规算子，故

$$\begin{array}{rl}\Vert \phi (\alpha ){\Vert }^2& =(\phi (\alpha ),\phi (\alpha ))=(\alpha ,{\phi }^{\ast }\phi (\alpha ))\\ & =(\alpha ,\phi {\phi }^{\ast }(\alpha ))=({\phi }^{\ast }(\alpha ),{\phi }^{\ast }(\alpha ))=\Vert {\phi }^{\ast }(\alpha ){\Vert }^2.\end{array}$$

又因为 $(\lambda I-\phi {)}^{\ast }=\bar{\lambda }I-{\phi }^{\ast }$，且 $(\lambda I-\phi )(\bar{\lambda }I-{\phi }^{\ast })=(\bar{\lambda }I-{\phi }^{\ast })(\lambda I-\phi )$， 所以 $\lambda I-\phi$ 也是正规算子。于是

$$\Vert ((\lambda I-\phi )(\alpha ))\Vert =\Vert ((\bar{\lambda }I-{\phi }^{\ast })(\alpha ))\Vert$$

对任意的 $\alpha$ 成立，从而 $(\lambda I-\phi )(\alpha )=0$ 当且仅当 $(\bar{\lambda }I-{\phi }^{\ast })(\alpha )=0$。$\square$