例 9.92

依赖于

• 例 9.28
• 例 9.26

被以下题目直接调用

• 例 9.104

例 9.92

设 $\phi$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 上的线性变换，求证：$\phi$ 是正规算子的充要条件是 若 $v$ 是 $\phi$ 属于特征值 $\lambda$ 的特征向量，则 $v$ 也是 ${\phi }^{\ast }$ 属于特征值 $\bar{\lambda }$ 的特征向量。

解答

证法 1 必要性就是例 9.28，现证充分性。对维数 $n$ 进行归纳，当 $n=1$ 时结论显然成立， 假设对 $n-1$ 维酉空间结论成立。设 $v$ 是 $\phi$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量， 即 $\phi (v)=\lambda v$，由条件可知，${\phi }^{\ast }(v)=\bar{\lambda }v$。记 $U=L(v{)}^{\perp }$，则 $\dim U=n-1$，由例 9.26 可知 $U$ 是 $\phi$ 及 ${\phi }^{\ast }$ 的不变子空间。 将 $\phi$ 和 ${\phi }^{\ast }$ 限制在 $U$ 上，容易验证 ${\phi }^{\ast }{|}_U=(\phi {|}_U{)}^{\ast }$，故由归纳假设可知，$\phi {|}_U$ 是 $U$ 上的正规算子，即 $\phi {|}_U{\phi }^{\ast }{|}_U={\phi }^{\ast }{|}_U\phi {|}_U$。显然 $\phi {\phi }^{\ast }(v)={\phi }^{\ast }\phi (v)$，因此 $\phi {\phi }^{\ast }={\phi }^{\ast }\phi$ 成立， 即 $\phi$ 是 $V$ 上的正规算子。

证法 2 由 Schur 定理可知，存在 $V$ 的一组标准正交基 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$，使得 $\phi$ 在这组基下的表示矩阵是上三角矩阵 $A=(a_{ij})$，于是 ${\phi }^{\ast }$ 在同一组基下的 表示矩阵为 ${\overline{A}}^{\prime }$。注意到

$$\phi (e_1)=a_{11}{e}_1,{\phi }^{\ast }(e_1)=\overline{a_{11}}{e}_1+\overline{a_{12}}{e}_2+\cdots +\overline{a_{1n}}{e}_n,$$

但由条件可知 ${\phi }^{\ast }(e_1)=\overline{a_{11}}{e}_1$，因此 $a_{12}=\cdots =a_{1n}=0$。同理不断地讨论下去，可得 $a_{ij}=0(1\le i<j\le n)$，于是 $A$ 是对角矩阵。因此 $\phi$ 在一组标准正交基下的 表示矩阵是对角矩阵，从而 $\phi$ 是正规算子。$\square$