例 9.104

依赖于

• 例 9.28
• 例 9.92

被以下题目直接调用

• 无

例 9.104

设 $\phi$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的线性变换，求证：$\phi$ 是正规算子的充要条件是 对 $V$ 中任意两个向量 $\alpha ,\beta$，若

$$\phi (\alpha )=a\alpha -b\beta ,\phi (\beta )=b\alpha +a\beta$$

（其中 $a,b$ 是实数），则必有

$${\phi }^{\ast }(\alpha )=a\alpha +b\beta ,{\phi }^{\ast }(\beta )=-b\alpha +a\beta .$$

解答

证明 任取 $V$ 的一组标准正交基，设 $\phi$ 在这组基下的表示矩阵为 $A$，则 ${\phi }^{\ast }$ 在这组基下的 表示矩阵为 $A^{\prime }$，再设 $\alpha ,\beta$ 的坐标向量分别为 $u,v$。

先证必要性。若 $u=v=0$，则结论显然成立，以下不妨设 $u,v$ 不全为零。若 $b=0$，则 $Au=au,Av=av$，即 $u,v$ 是 $A$ 属于实特征值 $a$ 的特征向量或零向量，从而由例 9.28 可知，$u,v$ 也是 $A^{\prime }$ 属于特征值 $a$ 的特征向量或零向量，结论得证。若 $b\ne 0$， 令 $w=u+vi$，则 $w\ne 0$ 且 $Aw=(a+bi)w$，即 $w$ 是 $A$ 属于虚特征值 $a+bi$ 的特征向量， 故由例 9.28 可知，$w$ 也是 $A^{\prime }$ 属于虚特征值 $a-bi$ 的特征向量，从而不难验证结论成立。

再证充分性。与必要性完全类似的讨论可得，若 $w$ 是 $A$ 属于特征值 $\lambda$ 的特征向量， 则 $w$ 也是 $A^{\prime }$ 属于特征值 $\bar{\lambda }$ 的特征向量，故由例 9.92 可知，$A$ 是复正规矩阵。 又 $A$ 是实矩阵，故 $A$ 也是实正规矩阵，从而 $\phi$ 是实正规算子。$\square$