例 9.113

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• 例 9.28
• 例 9.26
• 例 9.86
• 例 9.89

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例 9.113

设 $\phi$ 是 $n$ 维内积空间 $V$ 上的正规算子，$U$ 是 $\phi$ 的不变子空间。求证： $U$ 也是 ${\phi }^{\ast }$ 的不变子空间，从而 $\phi$ 在 $U$ 上的限制仍然是一个正规算子。

解答

证法 1 我们对欧氏空间和酉空间分别进行证明。先假设 $V$ 是酉空间，我们对不变子空间 $U$ 的维数 $k$ 进行归纳。 当 $k=1$ 时，$U$ 是一维子空间，可以由一个向量 $u$ 生成，显然 $u$ 是 $\phi$ 的特征向量， 由例 9.28 可知，$u$ 也是 ${\phi }^{\ast }$ 的特征向量，从而 $U=L(u)$ 也是 ${\phi }^{\ast }$ 的不变子空间。 假设对 $k-1$ 维不变子空间结论成立，现设 $U$ 是 $k$ 维不变子空间，将 $\phi$ 限制在 $U$ 上， 设 $\lambda$ 是 $\phi {|}_U$ 的特征值，$u\in U$ 是对应的特征向量。令 $W=L(u)$，则由例 9.28 可知， $W$ 既是 $\phi$ 的不变子空间，也是 ${\phi }^{\ast }$ 的不变子空间，再由例 9.26 可知， $W^{\perp }$ 也是 $\phi$ 和 ${\phi }^{\ast }$ 的不变子空间。令 $W_0=U\cap W^{\perp }$，则易证 $U=W\perp W_0$ 且 $W_0$ 是 $\phi$ 的 $k-1$ 维不变子空间。由归纳假设，$W_0$ 是 ${\phi }^{\ast }$ 的不变子空间，于是 $U$ 也是 ${\phi }^{\ast }$ 的不变子空间。至此我们对酉空间证明了结论。

再假设 $V$ 是欧氏空间，我们也对 $U$ 的维数 $k$ 进行归纳。当 $k=0$ 时表示归纳过程已经结束。 当 $k=1$ 时，类似于酉空间的情形同理可证明。假设对小于 $k$ 维的不变子空间结论成立，现设 $U$ 是 $k$ 维不变子空间。取 $U$ 和 $U^{\perp }$ 的标准正交基组成 $V$ 的基，$\phi$ 在此基下的表示矩阵为

$$N=\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right),$$

$N$ 是正规矩阵。我们将 $V$ 等同于 ${\mathbb{R}}^n$（取标准内积），$U$ 等同于 ${\mathbb{R}}^k$（看成是 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间，后 $n-k$ 个分量全为零），将 $\phi$ 等同于 $N$，$\phi {|}_U$ 等同于 $A$。若 $A$ 有实特征值，则类似于酉空间的情形用归纳假设即得结论。 以下假设 $A$ 没有实特征值，并设 $a+bi$ 是其虚特征值，$u+vi$ 是对应的特征向量，注意到它们也是 $N$ 的虚特征值和虚特征向量，故由例 9.86 可知，$W=L(u,v)$ 作为 $U$ 的二维子空间，既是 $N$ 的不变子空间，也是 $N^{\prime }$ 的不变子空间，再由例 9.26 可知，$W^{\perp }$ 也是 $N$ 和 $N^{\prime }$ 的不变子空间。令 $W_0=U\cap W^{\perp }$，则易证 $U=W\perp W_0$ 且 $W_0$ 是 $N$ 的 $k-2$ 维不变子空间。由归纳假设，$W_0$ 是 $N^{\prime }$ 的不变子空间，于是 $U$ 也是 $N^{\prime }$ 的不变子空间。 至此我们对欧氏空间也证明了结论。

证法 2 我们只对欧氏空间证明，酉空间的证明类似。取 $U$ 和 $U^{\perp }$ 的标准正交基组成 $V$ 的基， $\phi$ 在此基下的表示矩阵为

$$N=\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right),$$

$N$ 是正规矩阵，故由例 9.89 可知 $C=O$。又 ${\phi }^{\ast }$ 的表示矩阵为 $N^{\prime }$，故 $U$ 也是 ${\phi }^{\ast }$ 的不变子空间。

特别地，可将 $\phi$ 和 ${\phi }^{\ast }$ 限制在 $U$ 上，并且容易验证 ${\phi }^{\ast }{|}_U$ 仍是 $\phi {|}_U$ 的伴随，故由 $\phi {|}_U{\phi }^{\ast }{|}_U={\phi }^{\ast }{|}_U\phi {|}_U$ 可知 $\phi {|}_U$ 仍是正规算子。$\square$