例 9.86

依赖于

• 例 9.28

被以下题目直接调用

• 例 9.87
• 例 9.90
• 例 9.113
• 例 9.125

例 9.86

设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，虚数 $a+bi$ 是 $A$ 的一个特征值，$u+vi$ 是对应的特征向量， 其中 $u,v$ 是实列向量，求证：$u,v$ 必线性无关；若 $A$ 是正规矩阵，则 $u,v$ 相互正交且长度相同（取实列向量空间的标准内积）。

解答

证明 由假设

$$A(u+vi)=(a+bi)(u+vi)=(au-bv)+(av+bu)i.\text{\hspace{1em}(9.12)}$$

假设 $u,v$ 线性相关，不妨设 $u\ne 0,v=ku$，则 $(1+ki)Au=(1+ki)(a+bi)u$， 于是 $Au=(a+bi)u$，由此可得 $Au=au,bu=0$，这与 $b\ne 0$ 且 $u\ne 0$ 相矛盾。

若 $A$ 是正规矩阵，在 (9.12) 式中比较实部和虚部得到

$$Au=au-bv,Av=av+bu.$$

因为 $A$ 正规，故由例 9.28 可知，$u+vi$ 也是 $A^{\prime }$ 的属于特征值 $a-bi$ 的特征向量，即

$$A^{\prime }(u+vi)=(a-bi)(u+vi)=(au+bv)+(av-bu)i.$$

比较实部和虚部得到

$$A^{\prime }u=au+bv,A^{\prime }v=av-bu.$$

又 $(Au,u)=(u,A^{\prime }u)$，$(Au,v)=(u,A^{\prime }v)$，将 $Au,A^{\prime }u$ 及 $A^{\prime }v$ 代入得到

$$(au-bv,u)=(u,au+bv),(au-bv,v)=(u,av-bu).$$

由此可得 $(u,v)=0,(u,u)=(v,v)$。$\square$