例 9.125

依赖于

• 例 9.28
• 例 9.26
• 例 9.86

被以下题目直接调用

• 第 9 章解答题 19

例 9.125

设 $A,B$ 是两个 $n$ 阶实正规矩阵且 $AB=BA$，求证：存在正交矩阵 $P$，使得 $P^{\prime }AP$ 和 $P^{\prime }BP$ 同时为正交相似标准型。

解答

证明 同上可将 $A,B$ 看成是 $n$ 维列向量空间（取标准内积）上的线性变换。对维数 $n$ 进行归纳。 当 $n=0$ 时表示归纳过程已经结束，当 $n=1$ 时结论显然成立。假设对维数小于 $n$ 的空间结论成立， 现考虑 $n$ 维空间的情形。因为 $AB=BA$，所以 $A,B$ 有公共的特征向量，但未必是实向量。 如果是实向量，可设它的长度为 $1$，记之为 $e_1$。由于 $A,B$ 都是正规算子，故由例 9.28 可知， $e_1$ 也是 $A^{\prime },B^{\prime }$ 的特征向量，从而由例 9.26 可知，$L(e_1{)}^{\perp }$ 是 $A,B$ 的不变子空间，并且线性变换 $A,B$ 限制在 $L(e_1{)}^{\perp }$ 上仍为乘法可交换的正规算子， 从而由归纳假设即得结论。因此我们只需讨论复特征向量的情形。设这个公共的特征向量为 $\alpha =u+vi$，其中 $u,v$ 都是实向量，再设

$$A(u+vi)=(a_1+b_{1}i)(u+vi),B(u+vi)=(a_2+b_{2}i)(u+vi).$$

由例 9.86 的证明过程及其结论，我们可得

$$\begin{array}{llll}Au=a_{1}u-b_{1}v,& Av=b_{1}u+a_{1}v,& A^{\prime }u=a_{1}u+b_{1}v,& A^{\prime }v=-b_{1}u+a_{1}v,\\ Bu=a_{2}u-b_{2}v,& Bv=b_{2}u+a_{2}v,& B^{\prime }u=a_{2}u+b_{2}v,& B^{\prime }v=-b_{2}u+a_{2}v,\end{array}$$

并且 $\Vert u\Vert =\Vert v\Vert ,(u,v)=0$。不妨假设 $u,v$ 是单位向量，于是在二维子空间 $L(u,v)$ 上，线性变换 $A,B$ 在标准正交基 $u,v$ 下的表示矩阵分别为

$$\left(\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ -b_1& a_1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}{a}_2& b_2\\ -b_2& a_2\end{array}\right).$$

设 $W=L(u,v{)}^{\perp }$，因为 $L(u,v)$ 也是 $A^{\prime },B^{\prime }$ 的不变子空间，故由例 9.26 可知， $W$ 是 $A,B$ 的不变子空间，并且线性变换 $A,B$ 限制在 $W$ 上仍为乘法可交换的正规算子。 由归纳假设，存在 $W$ 的一组标准正交基 $e_3,\cdots ,e_n$，使得 $A,B$ 在这组基下的表示矩阵同时为正交相似标准型。 令 $e_1=u,e_2=v$，则 $A,B$ 在标准正交基 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$ 下的表示矩阵同时为正交相似标准型。$\square$