第 9 章解答题 19

依赖于

• 例 8.44
• 例 8.17
• 例 8.45
• 例 9.124
• 例 9.125

被以下题目直接调用

• 无

第 9 章解答题 19

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$S$ 是 $n$ 阶非异实反对称矩阵且 $AS=SA$，求证： $|A+S|\ge |S|$，且等号成立的充要条件是 $A=O$。

解答

证法 1（类似例 8.44 的证法 2）：由例 8.17 以及 $S$ 的非异性可知 $|S|>0$，从而只需证明 $|I_n+A{S}^{-1}|\ge 1$，等号成立当且仅当 $A{S}^{-1}=O$ 即可。由 $AS=SA$ 以及 $S$ 的反对称性容易验证 $A{S}^{-1}$ 也是实反对称矩阵，从而由例 8.45 即得结论。证法 2：将 $A$ 看成是 Hermite 矩阵， $S$ 看成是斜 Hermite 矩阵，由于 $AS=SA$，故由例 9.124 可知 $A,S$ 可同时酉对角化，剩余的证明类似于 例 8.44 的证法 3，请读者自行补充完整。证法 3：由于 $A,S$ 都是实正规矩阵且 $AS=SA$，故由例 9.125 可知 $A,S$ 可同时正交标准化，剩余的证明类似于例 8.44 的证法 4，请读者自行补充完整。事实上，我们还可以把例 8.44 的结论推广如下：设 $A$ 是 $n$ 阶可逆实对称矩阵，$S$ 是 $n$ 阶实反对称矩阵且 $AS=SA$，则当 $|A|>0$ 时，$|A+S|\ge |A|$；当 $|A|<0$ 时，$|A+S|\le |A|$，且等号成立的充要条件都是 $S=O$。上述推广的证明也请读者自行补充完整。