例 8.45

依赖于

• 例 8.18

被以下题目直接调用

• 例 8.66
• 例 9.115
• 第 9 章解答题 19

例 8.45

设 $A$ 是 $n$ 阶正定实对称矩阵，$S$ 是 $n$ 阶实反对称矩阵，求证：

$$(1)|A+S|\ge |A|+|S|,\text{且等号成立当且仅当 }n\le 2\text{ 或当 }n\ge 3\text{ 时 }S=O;$$ $$(2)|A+S|\ge |A|,\text{且等号成立当且仅当 }S=O.$$

解答

证明 设 $C$ 为非异实矩阵，使得 $C^{\prime }AC=I_n$。注意到问题的条件和结论在同时合同变换 $A\mapsto C^{\prime }AC,S\mapsto C^{\prime }SC$ 下不改变，故不妨从一开始就假设 $A=I_n$ 为合同标准型， 从而由例 8.18 即得结论。$\square$