例 8.66

依赖于

• 例 8.45

被以下题目直接调用

• 例 8.72
• 第 8 章解答题 14

例 8.66

设 $A$ 是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，$S$ 是 $n$ 阶实反对称矩阵，求证：

$$|A+S|\ge |A|+|S|\ge |A|\ge 0.$$

解答

证明 对任意的正实数 $t$，$A+t{I}_n$ 为正定阵，故由例 8.45 可得

$$|A+t{I}_n+S|\ge |A+t{I}_n|+|S|\ge |A+t{I}_n|>0,$$

令 $t\to 0+$，即得结论。$\square$