第 8 章解答题 14

依赖于

• 例 8.63
• 第 6 章解答题 3
• 例 8.66
• 第 8 章解答题 11

被以下题目直接调用

• 无

第 8 章解答题 14

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶亚半正定阵，$c$ 为非负实数。求证：

(1) $A+B,cA,A^{\prime }$ 和 $A^{\ast }$ 都是亚半正定阵；

(2) 若 $C$ 是 $n$ 阶实矩阵，则 $C^{\prime }AC$ 也是亚半正定阵；

(3) 若 $C$ 是 $n$ 阶亚正定阵，则 $A+C$ 也是亚正定阵；

(4) $A$ 的特征值的实部都大于等于零，特别地，$|A|\ge 0$；

(5) 举例说明：非异的亚半正定阵不一定是亚正定阵。

解答

(1) $A+B,cA,A^{\prime }$ 的亚半正定性直接由定义验证即得。注意到 $A$ 是亚半正定阵的充要条件是 对任意的正数 $t$，$A+t{I}_n$ 都是亚正定阵，其证明完全类似于例 8.63 的证明。因此由解答题 11 可知， 对任意的正实数 $t$，$(A+t{I}_n{)}^{\ast }$ 都是亚正定阵，再令 $t\to 0+$，即得 $A^{\ast }$ 的亚半正定性。 (2) 和 (3) 直接由定义验证即得。 (4) 的证明完全类似于第 6 章解答题 3 的证明。至于 $|A|\ge 0$ 的证明，既可以利用特征值实部的非负性， 也可以直接利用例 8.66 的结论，还可以利用解答题 11 中亚正定阵行列式值的正性，然后用极限性质和摄动法进行过渡。 (5) 例如

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$$

满足要求。