第 6 章解答题 3

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• 第 8 章解答题 11
• 第 8 章解答题 14

第 6 章解答题 3

设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，若对任意非零的 $n$ 维实列向量 $\alpha$，总有 ${\alpha }^{\prime }A\alpha >0$，则称 $A$ 为亚正定矩阵。求证：亚正定矩阵 $A$ 的所有特征值的实部都大于零。

解答

设 ${\lambda }_0=a+bi$ 是 $A$ 的特征值，$\eta$ 是属于 ${\lambda }_0$ 的特征向量。 将 $\eta$ 的实部和虚部分开，记为 $\eta =\alpha +i\beta$，则 $A(\alpha +i\beta )=(a+bi)(\alpha +i\beta )$。分开实部和虚部可得 $A\alpha =a\alpha -b\beta$，$A\beta =b\alpha +a\beta$，于是 ${\alpha }^{\prime }A\alpha =a{\alpha }^{\prime }\alpha -b{\alpha }^{\prime }\beta$，${\beta }^{\prime }A\beta =b{\beta }^{\prime }\alpha +a{\beta }^{\prime }\beta$，因此

$${\alpha }^{\prime }A\alpha +{\beta }^{\prime }A\beta =a({\alpha }^{\prime }\alpha +{\beta }^{\prime }\beta ).\text{\hspace{1em}(6.11)}$$

因为 $\alpha ,\beta$ 中至少有一个是非零列向量，故由假设可知，(6.11) 式左边大于零，又 ${\alpha }^{\prime }\alpha +{\beta }^{\prime }\beta >0$，因此 $a>0$。