例 8.63

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• 例 8.64
• 第 8 章解答题 14
• 例 9.9

例 8.63

$n$ 阶实对称矩阵 $A$ 是半正定阵的充要条件是对任意的正实数 $t$，$A+t{I}_n$ 都是正定阵。

解答

证明 先证必要性。对任一非零实列向量 $\alpha$，有

$${\alpha }^{\prime }(A+t{I}_n)\alpha ={\alpha }^{\prime }A\alpha +t{\alpha }^{\prime }\alpha .$$

因为 $A$ 半正定，故 ${\alpha }^{\prime }A\alpha \ge 0$。又 $t>0$ 且 ${\alpha }^{\prime }\alpha >0$，从而

$${\alpha }^{\prime }(A+t{I}_n)\alpha >0,$$

因此 $A+t{I}_n$ 是正定阵。

再证充分性。由假设对任一非零实列向量 $\alpha$ 和正实数 $t$，有

$${\alpha }^{\prime }(A+t{I}_n)\alpha ={\alpha }^{\prime }A\alpha +t{\alpha }^{\prime }\alpha >0.$$

令 $t\to 0+$，上式两边同时取极限可得 ${\alpha }^{\prime }A\alpha \ge 0$，即 $A$ 是半正定阵。$\square$