例 8.64

依赖于

• 例 8.3
• 例 8.26
• 例 1.46
• 例 8.63

被以下题目直接调用

• 例 8.70

例 8.64

$n$ 阶实对称矩阵 $A$ 是半正定阵的充要条件是 $A$ 的所有主子式全大于等于零。

解答

证明 必要性由例 8.3 和例 8.26 (2) 即得，下面证充分性。由例 1.46 可得

$$|A+t{I}_n|=t^n+c_1{t}^{n-1}+\cdots +c_{n-1}t+c_n,$$

其中 $c_i$ 是 $A$ 的所有 $i$ 阶主子式之和。由假设可知 $c_i\ge 0(1\le i\le n)$，故对任意的 正实数 $t$，我们总有 $|A+t{I}_n|>0$。设 $A_k(1\le k\le n)$ 是 $A$ 的 $n$ 个顺序主子阵，则 $A_k$ 的主子式也是 $A$ 的主子式，从而 $A_k$ 的所有主子式全大于等于零，根据上面的讨论可知， 对任意的正实数 $t$，我们总有 $|A_k+t{I}_k|>0$。注意到 $|A_k+t{I}_k|(1\le k\le n)$ 是 $A+t{I}_n$ 的 $n$ 个顺序主子式，故由上面的讨论可知，对任意的 正实数 $t$，$A+t{I}_n$ 都是正定阵，再由例 8.63 可得 $A$ 为半正定阵。$\square$