例 8.3 依赖于 无显式依赖 被以下题目直接调用 例 8.4 例 8.64 例 8.3 求证：正定阵的任一主子阵也是正定阵，半正定阵的任一主子阵也是半正定阵。 解答 证明 对正定阵 A 的某个 r 阶主子阵，经过适当的合同变换（对换行与列）可将它换到左上方， 因此只需对 A 的 r 阶顺序主子阵证明即可。令这个主子阵为 Ar，作二次型 g(α)=α′Arα。设 α 是 r 维非零列向量，后面添上 n−r 个零将 α 加长为 n 维列向量 β。因为 β=0，故由 A 的正定性可得 g(α)=α′Arα=β′Aβ>0，于是 g 是正定型，从而 Ar 是正定阵。 同理可证另外一个结论。□
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