例 8.4

依赖于

• 例 8.3

被以下题目直接调用

• 无

例 8.4

设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称矩阵，求证：

(1) $A$ 的所有主子式全大于零，特别地，$A$ 的主对角元全大于零；

(2) $A$ 中绝对值最大的元素只在 $A$ 的主对角线上。

解答

证明 (1) 是例 8.3 的直接推论，当然我们也可以直接证明它。设 $M$ 是 $A$ 的第 $i_1,\cdots ,i_k$ 行和列交点上的元素组成的主子式。设 $i_{k+1}<\cdots <i_n$ 是 $[1,n]$ 中去掉 $i_1,\cdots ,i_k$ 后剩余的指标，对二次型 $f(x)=x^{\prime }Ax$ 作如下可逆线性变换：

$$y_1=x_{i_1},\cdots ,y_k=x_{i_k},y_j=x_{i_j}(k+1\le j\le n).$$

于是 $f(x)=y^{\prime }By$，且 $B$ 的第 $k$ 个顺序主子式就是 $M$，因为 $B$ 正定，故有 $M>0$。

(2) 假设 $A=(a_{ij})$ 中第 $(i,j)$ 元素 $a_{ij}$ 的绝对值最大。用反证法，若 $i\ne j$， 则 $A$ 的第 $i,j$ 行和列交点上的元素组成的主子式为

$$\left|\begin{array}{cc}{a}_{ii}& a_{ij}\\ a_{ji}& a_{jj}\end{array}\right|=a_{ii}{a}_{jj}-a_{ij}^2\le 0,$$

这与 $A$ 是正定阵矛盾。$\square$