例 1.46

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 1.47
• 例 1.50
• 例 8.18
• 例 8.64

例 1.46

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶矩阵，求证：

$$|A+B|=|A|+|B|+\sum _{1\le k\le n-1}\left(\sum _{\begin{array}{c}1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n\\ 1\le j_1<j_2<\cdots <j_k\le n\end{array}}A\left(\begin{array}{cccc}{i}_1& i_2& \cdots & i_k\\ j_1& j_2& \cdots & j_k\end{array}\right)\hat{B}\left(\begin{array}{cccc}{i}_1& i_2& \cdots & i_k\\ j_1& j_2& \cdots & j_k\end{array}\right)\right).$$

解答

证明 设 $|A|=|{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n|$， $|B|=|{\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n|$，其中 ${\alpha }_i,{\beta }_i$ 分别是 $A$ 和 $B$ 的列向量。注意到

$$|A+B|=|{\alpha }_1+{\beta }_1,{\alpha }_2+{\beta }_2,\cdots ,{\alpha }_n+{\beta }_n|.$$

对 $|A+B|$，按列用行列式性质 6 展开，使每个行列式的每一列或者只含 ${\alpha }_i$， 或者只含 ${\beta }_i$（即按列向量完全拆分开），则 $|A+B|$ 可以表示为 $2^n$ 个这样的行列式之和。对每个行列式用 Laplace 定理按含有 $A$ 的列向量的那些列展开便可得到结论。$\square$