例 1.50

依赖于

• 例 1.49
• 例 1.22
• 例 1.7
• 例 1.5
• 例 1.46

被以下题目直接调用

• 无

例 1.50

设 $f$ 为从 $n$ 阶方阵全体构成的集合到数集上的映射，使得对任意的 $n$ 阶方阵 $A$，任意的指标 $1\le i\le n$，以及任意的常数 $c$，满足下列条件：

(1) 设 $A$ 的第 $i$ 列是方阵 $B$ 和 $C$ 的第 $i$ 列之和，且 $A$ 的其余列与 $B$ 和 $C$ 的对应列完全相同，则 $f(A)=f(B)+f(C)$；

(2) 将 $A$ 的第 $i$ 列乘以常数 $c$ 得到方阵 $B$，则 $f(B)=cf(A)$；

(3) 对换 $A$ 的任意两列得到方阵 $B$，则 $f(B)=-f(A)$；

(4) $f(I_n)=1$，其中 $I_n$ 是 $n$ 阶单位阵。

求证：$f(A)=|A|$。

解答

证明 设 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)$，其中 ${\alpha }_i$ 为 $A$ 的第 $i$ 列，$e_1,e_2,\cdots ,e_n$ 为标准单位列向量，则

$${\alpha }_j=a_{1j}{e}_1+a_{2j}{e}_2+\cdots +a_{nj}{e}_n=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{e}_i.$$

由条件 (1) 和 (2) 可得

$$f(A)=\sum _{(k_1,k_2,\cdots ,k_n)}{a}_{k_{1}1}{a}_{k_{2}2}\cdots a_{k_{n}n}f(e_{k_1},e_{k_2},\cdots ,e_{k_n}).$$

由条件 (3) 可知，若 $k_i=k_j$，则 $f(e_{k_1},e_{k_2},\cdots ,e_{k_n})=0$。因此在 $f(A)$ 的表达式中，只剩下 $k_i$ 互不相同的项。通过 $N(k_1,k_2,\cdots ,k_n)$ 次相邻对换可将 $(e_{k_1},e_{k_2},\cdots ,e_{k_n})$ 变成 $I_n=(e_1,e_2,\cdots ,e_n)$，故由条件 (3) 和 (4) 可得

$$f(e_{k_1},e_{k_2},\cdots ,e_{k_n})=(-1{)}^{N(k_1,k_2,\cdots ,k_n)}f(I_n)=(-1{)}^{N(k_1,k_2,\cdots ,k_n)},$$

于是

$$f(A)=\sum _{(k_1,k_2,\cdots ,k_n)\in S_n}(-1{)}^{N(k_1,k_2,\cdots ,k_n)}{a}_{k_{1}1}{a}_{k_{2}2}\cdots a_{k_{n}n}=|A|.\square$$

在例 1.49 的证明过程中，我们综合运用了行列式的性质、拆分法以及模板法（例 1.22 或例 1.7）进行计算。另一方面，我们也给出了众多例题的多种解法或证法，比如例 1.5，可以用爪型行列式、升阶法、求和法、拆分法与递推法、模板法（例 1.46）和降阶公式这 6 种方法来求解。可见，要真正熟练地掌握行列式的计算，并将上述各种方法运用自如，需要读者在做题的过程中认真思考，不断总结，才能融会贯通。