例 1.7

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 1.49
• 例 1.50
• 例 2.42
• 第 2 章解答题 14
• 例 8.61

例 1.7

设 $|A|=|a_{ij}|$ 是一个 $n$ 阶行列式，$A_{ij}$ 是它的第 $(i,j)$ 元素的代数余子式，求证：

$$\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& x_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& x_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}& x_n\\ y_1& y_2& \cdots & y_n& z\end{array}\right|=z|A|-\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{A}_{ij}{x}_i{y}_j.$$

解答

证明 将上述行列式按照最后一列展开，展开式的第一项为

$$(-1{)}^{n+2}{x}_1\left|\begin{array}{cccc}{a}_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\\ y_1& y_2& \cdots & y_n\end{array}\right|.$$

再将上面行列式按照最后一行展开，得到

$$(-1{)}^{n+2}{x}_1(-1{)}^{n+1}(y_1{A}_{11}+y_2{A}_{12}+\cdots +y_n{A}_{1n})=-\sum _{j=1}^n{x}_1{y}_j{A}_{1j}.$$

同理可得原行列式展开式的第 $i$ 项为 $-{\sum }_{j=1}^n{x}_i{y}_j{A}_{ij}(1\le i\le n)$，而最后一项为 $z|A|$，因此原行列式的值为

$$z|A|-\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{A}_{ij}{x}_i{y}_j.$$

$\square$