例 8.61

依赖于

• 例 1.7
• 例 8.46

被以下题目直接调用

• 无

例 8.61

设有实二次型 $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=x^{\prime }Ax$，其中 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶正定实对称矩阵，求证下列 实二次型是负定型：

$$g(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& x_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& x_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}& x_n\\ x_1& x_2& \cdots & x_n& 0\end{array}\right|.$$

解答

证法 1 由例 1.7 可得

$$g(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=-\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{A}_{ij}{x}_i{x}_j=-x^{\prime }{A}^{\ast }x,$$

其中 $A_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，$A^{\ast }$ 是 $A$ 的伴随矩阵。因为 $A$ 正定，故由例 8.46 可知 $A^{\ast }$ 也正定，从而 $g$ 为负定型。

证法 2 因为 $A$ 正定，所以 $|A|>0$，故由降阶公式可得

$$g(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=|A|(0-x^{\prime }{A}^{-1}x)=-|A|(x^{\prime }{A}^{-1}x).$$

再由例 8.46 可知 $A^{-1}$ 也正定，即 $x^{\prime }{A}^{-1}x$ 是正定型，从而 $g$ 为负定型。$\square$