例 8.46

依赖于

• 例 2.26

被以下题目直接调用

• 例 8.61
• 第 8 章填空题 12

例 8.46

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶正定实对称矩阵，$c$ 是正实数，求证：

$$(1)A^{-1},A^{\ast },A+B,cA\text{ 都是正定阵};$$ $$(2)\text{若 }D\text{ 是非异实矩阵，则 }{D}^{\prime }AD\text{ 是正定阵};$$ $$(3)\text{若 }A-B\text{ 是正定阵，则 }{B}^{-1}-A^{-1}\text{ 也是正定阵}.$$

解答

证明 (1) 由已知存在非异实矩阵 $C$，使得 $A=C^{\prime }C$，从而

$$A^{-1}=(C^{\prime }C{)}^{-1}=C^{-1}(C^{-1}{)}^{\prime },$$

故 $A^{-1}$ 是正定阵。又

$$A^{\ast }=(C^{\prime }C{)}^{\ast }=C^{\ast }(C^{\prime }{)}^{\ast }=C^{\ast }(C^{\ast }{)}^{\prime },$$

故 $A^{\ast }$ 是正定阵。对任一非零实列向量 $\alpha$，

$${\alpha }^{\prime }(A+B)\alpha ={\alpha }^{\prime }A\alpha +{\alpha }^{\prime }B\alpha >0,$$

从而 $A+B$ 是正定阵。注意到，若 $A$ 是正定阵，即使 $B$ 只是半正定阵，通过上述方法也能推出 $A+B$ 是正定阵；同理可证 $cA$ 也是正定阵。

(2) 由 (1) 相同的记号可得

$$D^{\prime }AD=D^{\prime }{C}^{\prime }CD=(CD{)}^{\prime }(CD),$$

因为 $CD$ 是可逆矩阵，故 $D^{\prime }AD$ 是正定阵。

(3) 由例 2.26 可知

$$B^{-1}-A^{-1}=(B+B(A-B{)}^{-1}B{)}^{-1},$$

再由 (1) 和 (2) 即得 $B^{-1}-A^{-1}$ 是正定阵。$\square$