例 1.47

依赖于

• 例 1.46

被以下题目直接调用

• 例 6.24
• 例 9.63

例 1.47

设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶方阵，$x$ 为未定元，

$$f(x)=|x{I}_n-A|=\left|\begin{array}{cccc}x-a_{11}& -a_{12}& \cdots & -a_{1n}\\ -a_{21}& x-a_{22}& \cdots & -a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ -a_{n1}& -a_{n2}& \cdots & x-a_{nn}\end{array}\right|.$$

证明：

$$f(x)=x^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n,$$

其中

$$a_k=(-1{)}^k\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n}A\left(\begin{array}{cccc}{i}_1& i_2& \cdots & i_k\\ i_1& i_2& \cdots & i_k\end{array}\right),1\le k\le n.$$

解答

证明 注意到 $x{I}_n$ 非零的 $n-k$ 阶子式只有 $n-k$ 阶主子式，其值为 $x^{n-k}$，故由例 1.46 即得结论。$\square$