例 9.63

依赖于

• 例 1.47
• 例 5.41

被以下题目直接调用

• 无

例 9.63

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，求证：$A$ 为正定阵（半正定阵）的充要条件是

$$c_r=\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_r\le n}A\left(\begin{array}{cccc}{i}_1& i_2& \cdots & i_r\\ i_1& i_2& \cdots & i_r\end{array}\right)>0(\ge 0),1\le r\le n.$$

解答

证明 由正定阵（半正定阵）的性质可知必要性成立，下证充分性。由例 1.47 可知，$A$ 的特征多项式

$$f(\lambda )=|\lambda I_n-A|={\lambda }^n-c_1{\lambda }^{n-1}+\cdots +(-1{)}^{n-1}{c}_{n-1}\lambda +(-1{)}^n{c}_n,$$

其中所有的 $c_i>0(\ge 0)$。注意到 $A$ 的特征值，即 $f(\lambda )$ 的根全是实数，故由例 5.41 (3) 可知，$f(\lambda )$ 的根全大于零（全大于等于零），因此 $A$ 是正定阵（半正定阵）。$\square$