例 5.41

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• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 9.63

例 5.41

设 $f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ 是实系数多项式，求证：

(1) 若 $a_i(0\le i\le n)$ 全是正数或全是负数，则 $f(x)$ 没有非负实根。

(2) 若 $(-1{)}^i{a}_i(0\le i\le n)$ 全是正数或全是负数，则 $f(x)$ 没有非正实根。

(3) 若 $a_n>0$ 且 $(-1{)}^{n-i}{a}_i>0(0\le i\le n-1)$，则 $f(x)$ 没有非正实根；若 $a_n>0$ 且 $(-1{)}^{n-i}{a}_i\ge 0(0\le i\le n-1)$，则 $f(x)$ 没有负实根。

解答

证明 (1) 若 $a_i$ 全是正数且 $f(x)$ 有非负实根 $c\ge 0$，代入后可得

$$f(c)=a_n{c}^n+a_{n-1}{c}^{n-1}+\cdots +a_{1}c+a_0\ge a_0>0,$$

这和 $c$ 是根矛盾，因此 $f(x)$ 没有非负实根。同理可证 $a_i$ 全是负数的情形。

(2) 和 (3) 同理可证。$\square$