例 8.18

依赖于

• 例 1.46
• 例 8.17

被以下题目直接调用

• 例 8.45

例 8.18

设 $A$ 为 $n$ 阶实反对称矩阵，求证：

(1) $|I_n+A|\ge 1+|A|$，且等号成立当且仅当 $n\le 2$ 或当 $n\ge 3$ 时 $A=O$。

(2) $|I_n+A|\ge 1$，且等号成立当且仅当 $A=O$。

解答

证明 (1) 由例 1.46 可知

$$|I_n+A|=|I_n|+|A|+\sum _{1\le k\le n-1}\left(\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n}A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1{i}_2\cdots i_k}{i_1{i}_2\cdots i_k}\right)\right).$$

注意到 $A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1{i}_2\cdots i_k}{i_1{i}_2\cdots i_k}\right)$ 是 $k$ 阶实反对称行列式，故由例 8.17 可知其值大于等于零， 于是 $|I_n+A|\ge 1+|A|$ 成立。当 $n\le 2$ 时，容易验证不等式的等号成立。当 $n\ge 3$ 时， 若不等式的等号成立，则必有

$$A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{ij}{ij}\right)=\left|\begin{array}{cc}0& a_{ij}\\ -a_{ij}& 0\end{array}\right|=a_{ij}^2=0,$$

即有 $a_{ij}=0(1\le i<j\le n)$，从而 $A=O$。(2) 同理可证，细节留给读者完成。$\square$