例 8.17

依赖于

• 例 8.16

被以下题目直接调用

• 例 8.18
• 例 9.71
• 第 9 章解答题 19

例 8.17

求证：$n$ 阶实反对称矩阵 $A$ 的行列式值总是非负实数。

解答

证明 由例 8.16 可知，存在非异实矩阵 $C$，使得

$$C^{\prime }AC=\mathrm{diag}\{S,\cdots ,S,0,\cdots ,0\},$$

其中

$$S=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right).$$

若 $A$ 是奇异阵，则 $|A|=0$，结论显然成立。若 $A$ 是非异阵，则由上式可得 $|A|\cdot |C{|}^2=|S{|}^{n/2}=1$，从而 $|A|>0$。$\square$