例 8.70

依赖于

例 8.70

设 $A = (a_{ij})$ 为 $n$ 阶半正定实对称矩阵，求证：若 $a_{ii} = 0$ ，则 $A$ 的第 $i$ 行和第 $i$ 列的所有元素都等于零。

证明任取 $j \neq = i$ ，考虑 $A$ 的第 $i, j$ 行和列构成的主子式，由例 8.64 可得

a_{ii} a_{j i} a_{ij} a_{j j} = a_{ii} a_{j j} - a_{ij} a_{j i} = - a_{ij}^{2} \geq 0,

从而 $a_{ij} = a_{j i} = 0 (j \neq = i)$ ，结论得证。 $□$