例 9.124

依赖于

• 例 9.123
• 例 6.42

被以下题目直接调用

• 例 9.127
• 第 9 章解答题 19

例 9.124

设 $A_1,A_2,\cdots ,A_m$ 是 $m$ 个实对称矩阵（复正规矩阵）且两两乘法可交换，求证：存在正交矩阵 （酉矩阵）$P$，使得 $P^{\prime }{A}_{i}P$（$\overline{P^{\prime }}{A}_{i}P$）都是对角矩阵。

解答

证明 将 $A_i$ 看成是 $n$ 维列向量空间（取标准内积）上的线性变换，对维数 $n$ 用数学归纳法，证明存在一组由诸 $A_i$ 的公共特征向量组成的标准正交基。当 $n=1$ 时结论显然成立，假设对 $n-1$ 维空间结论成立， 我们用例 9.123 同样的方法来处理 $n$ 维空间的情形。由例 6.42 可知，诸 $A_i$ 至少有一个公共的单位特征向量 $e_1$，这也是诸 $A_i^{\prime }$ 的公共特征向量，于是 $L(e_1{)}^{\perp }$ 是诸 $A_i,A_i^{\prime }$ 的 $n-1$ 维不变子空间。将 $A_i$ 限制在 $L(e_1{)}^{\perp }$ 上，由归纳假设，$L(e_1{)}^{\perp }$ 有一组由诸 $A_i$ 的公共特征向量组成的标准正交基 $e_2,\cdots ,e_n$，因此 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$ 就是要求的标准正交基。$\square$