例 9.127

依赖于

• 例 9.124

被以下题目直接调用

• 例 9.128

例 9.127

设 $A_1,A_2,\cdots ,A_m$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，其中 $A_1$ 是正定阵，且对任意的 $2\le i<j\le m$，$A_i{A}_1^{-1}{A}_j$ 都是对称矩阵。求证：存在可逆矩阵 $C$，使得

$$C^{\prime }{A}_{1}C=I_n,C^{\prime }{A}_{i}C=\mathrm{diag}\{{\lambda }_{i1},{\lambda }_{i2},\cdots ,{\lambda }_{in}\},2\le i\le m,$$

其中 $\{{\lambda }_{i1},{\lambda }_{i2},\cdots ,{\lambda }_{in}\}$ 是 $A_1^{-1}{A}_i$ 的全体特征值。

解答

证明 由 $A_1$ 正定可知 $A_1^{-1/2}{A}_1{A}_1^{-1/2}=I_n$，由 $A_i{A}_1^{-1}{A}_j$ 对称可知 $A_i{A}_1^{-1}{A}_j=A_j{A}_1^{-1}{A}_i$，从而

$$(A_1^{-1/2}{A}_i{A}_1^{-1/2})(A_1^{-1/2}{A}_j{A}_1^{-1/2})=(A_1^{-1/2}{A}_j{A}_1^{-1/2})(A_1^{-1/2}{A}_i{A}_1^{-1/2}),$$

即实对称矩阵 $A_1^{-1/2}{A}_i{A}_1^{-1/2}(2\le i\le m)$ 两两乘法可交换。 由例 9.124 可知，存在正交矩阵 $P$，使得

$$P^{\prime }{A}_1^{-1/2}{A}_i{A}_1^{-1/2}P=\mathrm{diag}\{{\lambda }_{i1},{\lambda }_{i2},\cdots ,{\lambda }_{in}\},2\le i\le m.$$

此时 $P^{\prime }{A}_1^{-1/2}{A}_1{A}_1^{-1/2}P=I_n$，故只要令 $C=A_1^{-1/2}P$ 即得结论。 由特征值的降阶公式可知，$\{{\lambda }_{i1},{\lambda }_{i2},\cdots ,{\lambda }_{in}\}$ 也是 $(A_1^{-1/2}P)(P^{\prime }{A}_1^{-1/2}{A}_i)=A_1^{-1}{A}_i$ 的全体特征值。$\square$