例 9.128

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• 例 9.127

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• 无

例 9.128

设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称矩阵，$B,C$ 为 $n$ 阶半正定实对称矩阵，使得 $B{A}^{-1}C$ 是对称矩阵。求证：

$$|A|\cdot |A+B+C|\le |A+B|\cdot |A+C|,\text{\hspace{1em}(9.19)}$$

且等号成立的充要条件是 $B{A}^{-1}C=O$。

解答

证明 由例 9.127 可知，存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{\prime }AP=I_n$，

$$P^{\prime }BP={\Lambda }_B=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\},P^{\prime }CP={\Lambda }_C=\mathrm{diag}\{{\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_n\},$$

其中 ${\lambda }_i\ge 0,{\mu }_i\ge 0(1\le i\le n)$。将 (9.19) 式两边左乘 $|P^{\prime }{|}^2$，右乘 $|P{|}^2$，故只要证明

$$|I_n+{\Lambda }_B+{\Lambda }_C|\le |I_n+{\Lambda }_B||I_n+{\Lambda }_C|$$

即可，而这由 $1+{\lambda }_i+{\mu }_i\le (1+{\lambda }_i)(1+{\mu }_i)(1\le i\le n)$ 即得。 (9.19) 式的等号成立当且仅当 ${\lambda }_i{\mu }_i=0(1\le i\le n)$，即当且仅当

$$O={\Lambda }_B{\Lambda }_C=(P^{\prime }BP)(P^{\prime }CP)=P^{\prime }(B{A}^{-1}C)P,$$

这也当且仅当 $B{A}^{-1}C=O$。$\square$