例 9.123

依赖于

• 例 6.38
• 例 9.28
• 例 9.26

被以下题目直接调用

• 例 9.124

例 9.123

设 $\phi ,\psi$ 是 $n$ 维欧氏空间（酉空间）$V$ 上的两个自伴随算子（正规算子），求证： $V$ 有一组由 $\phi ,\psi$ 的公共特征向量构成的标准正交基的充要条件是

$$\phi \psi =\psi \phi .$$

解答

证明 先证必要性：因为 $\phi$ 和 $\psi$ 在由它们的公共特征向量构成的标准正交基下的表示矩阵都是对角矩阵， 并且对角矩阵乘法可交换，所以 $\phi \psi =\psi \phi$。

再证充分性。对维数 $n$ 进行归纳。当 $n=1$ 时结论显然成立。假设对 $n-1$ 维内积空间结论成立， 现考虑 $n$ 维内积空间的情形。因为 $\phi ,\psi$ 是欧氏空间（酉空间）上乘法可交换的自伴随算子 （正规算子），并且它们的特征值都是实数（复数），故由例 6.38 可知，$\phi ,\psi$ 至少有一个公共的单位特征向量 $e_1$。由例 9.28 可知，$e_1$ 也是 ${\phi }^{\ast },{\psi }^{\ast }$ 的特征向量，再由例 9.26 可知，$L(e_1{)}^{\perp }$ 是 $\phi ,\psi$ 和 ${\phi }^{\ast },{\psi }^{\ast }$ 的不变子空间，从而 $\phi ,\psi$ 限制在 $L(e_1{)}^{\perp }$ 上仍为乘法可交换的自伴随算子（正规算子）。由归纳假设， $n-1$ 维子空间 $L(e_1{)}^{\perp }$ 有一组由 $\phi ,\psi$ 的公共特征向量构成的标准正交基 $e_2,\cdots ,e_n$，于是 $V$ 有一组由 $\phi ,\psi$ 的公共特征向量构成的标准正交基 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$。$\square$