例 6.38

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• 例 6.40
• 例 6.41
• 例 6.42
• 例 9.123

例 6.38

设 $\phi ,\psi$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上线性空间 $V$ 上的乘法可交换的线性变换，且 $\phi ,\psi$ 的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中，求证：$\phi ,\psi$ 的特征子空间互为不变子空间，并且 $\phi ,\psi$ 至少有一个公共的特征向量。

解答

证明 由线性方程组的求解理论可知，若数域 $\mathbb{F}$ 上的线性变换或 $\mathbb{F}$ 上的矩阵在 $\mathbb{F}$ 中有一个特征值，则在 $\mathbb{F}$ 上的线性空间或 $\mathbb{F}$ 上的列向量空间中必存在对应的特征向量。任取线性变换 $\phi$ 的一个特征值 ${\lambda }_0\in \mathbb{F}$，设 $V_0$ 是特征值 ${\lambda }_0$ 的特征子空间，则对任意的 $\alpha \in V_0$，有

$$\phi \psi (\alpha )=\psi \phi (\alpha )=\psi ({\lambda }_0\alpha )={\lambda }_0\psi (\alpha ),$$

即 $\psi (\alpha )\in V_0$，因此 $V_0$ 是 $\psi$-不变子空间。取 $V_0$ 的一组基并扩张为 $V$ 的一组基，则 $\psi$ 在这组基下的表示矩阵为分块对角矩阵

$$\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right),$$

其中 $A$ 是 $\psi {|}_{V_0}$ 在给定基下的表示矩阵，于是

$$|\lambda I_V-\psi |=|\lambda I-A||\lambda I-B|.$$

因为 $\psi$ 的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中，故 $A$ 的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中，于是 $\psi {|}_{V_0}$ 的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中。任取 $\psi {|}_{V_0}$ 的一个特征值 ${\mu }_0\in \mathbb{F}$ 及其特征向量 $\alpha \in V_0$，则 $\phi (\alpha )={\lambda }_0\alpha ,\psi (\alpha )={\mu }_0\alpha$，于是 $\alpha$ 就是 $\phi ,\psi$ 的公共特征向量。$\square$