例 8.26

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• 例 8.57
• 例 8.64
• 例 9.16

例 8.26

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，求证：

(1) $A$ 是正定阵的充要条件是存在 $n$ 阶非异实矩阵 $C$，使得 $A=C^{\prime }C$。

(2) $A$ 是半正定阵的充要条件是存在 $n$ 阶实矩阵 $C$，使得 $A=C^{\prime }C$。特别地， $|A|=|C{|}^2\ge 0$。

解答

证明 (1) 由 \S\S 8.1.3 定理 4 可知，$A$ 是正定阵当且仅当 $A$ 合同于 $I_n$， 即存在非异实矩阵 $C$，使得 $A=C^{\prime }{I}_{n}C=C^{\prime }C$。

(2) 由 \S\S 8.1.3 定理 4 可知，$A$ 是半正定阵当且仅当 $A$ 合同于 $\mathrm{diag}\{I_r,O\}$，即存在非异实矩阵 $B$，使得 $A=B^{\prime }\mathrm{diag}\{I_r,O\}B$。令 $C=\mathrm{diag}\{I_r,O\}B$， 则 $A=C^{\prime }C$。反之，若 $A=C^{\prime }C$，其中 $C$ 是实矩阵，则对任一 $n$ 维实列向量 $\alpha$，

$${\alpha }^{\prime }A\alpha ={\alpha }^{\prime }{C}^{\prime }C\alpha =(C\alpha {)}^{\prime }(C\alpha )\ge 0,$$

由定义可知 $A$ 为半正定阵。$\square$