例 8.30

依赖于

• 例 8.26

被以下题目直接调用

• 无

例 8.30

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，证明：$AB=O$ 的充要条件是 $\mathrm{tr}(AB)=0$。

解答

证明 必要性显然，下证充分性。由例 8.26 可设 $A=C^{\prime }C,B=D{D}^{\prime }$，其中 $C,D$ 是 $n$ 阶实矩阵， 则由迹的交换性可得

$$0=\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(C^{\prime }CD{D}^{\prime })=\mathrm{tr}(D^{\prime }{C}^{\prime }CD)=\mathrm{tr}((CD{)}^{\prime }(CD)),$$

再由迹的正定性可知 $CD=O$，于是 $AB=C^{\prime }(CD)D^{\prime }=O$。$\square$