例 8.28

依赖于

• 例 8.26
• 例 2.63

被以下题目直接调用

• 无

例 8.28

设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称矩阵，$\alpha ,\beta$ 为 $n$ 维实列向量，证明： $({\alpha }^{\prime }\beta {)}^2\le ({\alpha }^{\prime }A\alpha )({\beta }^{\prime }{A}^{-1}\beta )$，且等号成立的充要条件是 $A\alpha$ 与 $\beta$ 成比例。

解答

证明 由例 8.26 可设 $A=C^{\prime }C$，其中 $C$ 为非异实矩阵，则 $A^{-1}=C^{-1}(C^{\prime }{)}^{-1}$。 再设 $C\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_n{)}^{\prime }$，$(C^{\prime }{)}^{-1}\beta =(b_1,b_2,\cdots ,b_n{)}^{\prime }$ 为 $n$ 维实列向量，则由 Cauchy-Schwarz 不等式（参考例 2.63）可得

$$\begin{array}{rl}({\alpha }^{\prime }\beta {)}^2& =((C\alpha {)}^{\prime }((C^{\prime }{)}^{-1}\beta ){)}^2={\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\right)}^2\\ & \le \left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{b}_i^2\right)\\ & =((C\alpha {)}^{\prime }(C\alpha )\left)\right(((C^{\prime }{)}^{-1}\beta {)}^{\prime }((C^{\prime }{)}^{-1}\beta ))=({\alpha }^{\prime }A\alpha )({\beta }^{\prime }{A}^{-1}\beta ),\end{array}$$

等号成立的充要条件是 $a_i$ 与 $b_i$ 对应成比例，即 $C\alpha$ 与 $(C^{\prime }{)}^{-1}\beta$ 成比例， 也即 $A\alpha$ 与 $\beta$ 成比例。$\square$