例 9.16

依赖于

• 例 9.5
• 例 8.26
• 例 9.15

被以下题目直接调用

• 例 9.17

例 9.16

证明下列不等式：

$$0\le |G(u_1,u_2,\cdots ,u_m)|\le \Vert u_1{\Vert }^2\Vert u_2{\Vert }^2\cdots \Vert u_m{\Vert }^2,$$

后一个等号成立的充要条件是 $u_i$ 两两正交或者某个 $u_i=0$。

解答

证明 由例 9.5 可知 $G(u_1,u_2,\cdots ,u_m)$ 是一个半正定实对称矩阵，故由例 8.26 可知 $|G(u_1,u_2,\cdots ,u_m)|\ge 0$。对第二个不等式，我们分情况讨论。若 $G(u_1,u_2,\cdots ,u_m)$ 是非正定的半正定阵，则 $0=|G(u_1,u_2,\cdots ,u_m)|\le \Vert u_1{\Vert }^2\Vert u_2{\Vert }^2\cdots \Vert u_m{\Vert }^2$， 并且等号成立的充要条件是某个 $u_i=0$。若 $G(u_1,u_2,\cdots ,u_m)$ 是正定阵， 则由例 9.5 可知 $u_1,u_2,\cdots ,u_m$ 线性无关。由 Gram-Schmidt 正交化过程可得

$$v_i=u_i-\sum _{j=1}^{i-1}\frac{(u_i,v_j)}{\Vert v_j{\Vert }^2}{v}_j.$$

再由勾股定理可得

$$\Vert u_i{\Vert }^2=\Vert v_i{\Vert }^2+\sum _{j=1}^{i-1}\frac{(u_i,v_j{)}^2}{\Vert v_j{\Vert }^2}\ge \Vert v_i{\Vert }^2>0.$$

最后由例 9.15 可得

$$|G(u_1,u_2,\cdots ,u_m)|=\Vert v_1{\Vert }^2\Vert v_2{\Vert }^2\cdots \Vert v_m{\Vert }^2\le \Vert u_1{\Vert }^2\Vert u_2{\Vert }^2\cdots \Vert u_m{\Vert }^2,$$

等号成立当且仅当 $\Vert v_i{\Vert }^2=\Vert u_i{\Vert }^2(1\le i\le m)$，这也当且仅当 $v_i=u_i(1\le i\le m)$，从而当且仅当 $u_i$ 两两正交。$\square$