例 9.5

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• 例 9.8
• 例 9.16
• 例 9.34
• 例 9.36
• 第 9 章解答题 4

例 9.5

设 $v_1,v_2,\cdots ,v_m$ 是欧氏空间 $V$ 中 $m$ 个向量，矩阵

$$G=G(v_1,v_2,\cdots ,v_m)=\left(\begin{array}{cccc}(v_1,v_1)& (v_1,v_2)& \cdots & (v_1,v_m)\\ (v_2,v_1)& (v_2,v_2)& \cdots & (v_2,v_m)\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ (v_m,v_1)& (v_m,v_2)& \cdots & (v_m,v_m)\end{array}\right)$$

称为向量 $v_1,v_2,\cdots ,v_m$ 的 Gram 矩阵。求证：

(1) $G$ 是半正定实对称矩阵；

(2) 向量组 $v_1,v_2,\cdots ,v_m$ 线性无关当且仅当 $G$ 是正定阵，也当且仅当 $G$ 是可逆矩阵。

解答

证明 (1) 由内积的对称性可知 $G$ 是实对称矩阵。对任意的实列向量 $\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_m{)}^{\prime }$，令 $v=a_1{v}_1+a_2{v}_2+\cdots +a_m{v}_m$，则有

$${\alpha }^{\prime }G\alpha =\sum _{i,j=1}^m{a}_i{a}_j(v_i,v_j)=\left(\sum _{i=1}^m{a}_i{v}_i,\sum _{j=1}^m{a}_j{v}_j\right)=(v,v)\ge 0,$$

因此 $G$ 是半正定阵。

(2) 注意到半正定阵 $G$ 是正定阵当且仅当 $G$ 是非异阵，故两个充要条件只要证明其中一个即可。 我们用两种方法来证明它们。

证法 1 若 $v_1,v_2,\cdots ,v_m$ 线性无关，则对任意的非零实列向量 $\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_m{)}^{\prime }$，$v=a_1{v}_1+a_2{v}_2+\cdots +a_m{v}_m\ne 0$， 从而 ${\alpha }^{\prime }G\alpha =(v,v)>0$，故 $G$ 是正定阵。若 $v_1,v_2,\cdots ,v_m$ 线性相关， 则存在非零实列向量 $\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_m{)}^{\prime }$，使得 $v=a_1{v}_1+a_2{v}_2+\cdots +a_m{v}_m=0$，从而 ${\alpha }^{\prime }G\alpha =(v,v)=0$，故 $G$ 不是正定阵。

证法 2 假设 $v_1,v_2,\cdots ,v_m$ 线性相关，则存在不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$，使得 $k_1{v}_1+k_2{v}_2+\cdots +k_m{v}_m=0$。将 $k_i$ 乘以 $G$ 的第 $i$ 行后求和得到

$$(k_1{v}_1+k_2{v}_2+\cdots +k_m{v}_m,v_j)=0,1\le j\le m,\text{\hspace{1em}(9.3)}$$

即 $G$ 的 $m$ 个行向量线性相关，因此 $G$ 不是可逆矩阵。反之，若 $G$ 不可逆，则 $G$ 的 $m$ 个行向量线性相关，即存在不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$，使得 (9.3) 式成立。 于是

$$(k_1{v}_1+k_2{v}_2+\cdots +k_m{v}_m,k_1{v}_1+k_2{v}_2+\cdots +k_m{v}_m)=0,$$

从而 $k_1{v}_1+k_2{v}_2+\cdots +k_m{v}_m=0$，因此 $v_1,v_2,\cdots ,v_m$ 线性相关。$\square$