第 9 章解答题 4

依赖于

• 例 9.5

被以下题目直接调用

• 无

第 9 章解答题 4

设 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中有 $n+1$ 个向量 ${\alpha }_0,{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$，它们两两之间的距离都是 $d>0$。令 ${\beta }_i={\alpha }_i-{\alpha }_0(1\le i\le n)$，求证：

$$(1)({\beta }_i,{\beta }_j)=\frac{d^2}{2}(1\le i\ne j\le n);(2){\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n\text{ 是 }V\text{ 的一组基}.$$

解答

(1) 显然 $\Vert {\beta }_i\Vert =\Vert {\alpha }_i-{\alpha }_0\Vert =d(1\le i\le n)$，又对任意的 $i\ne j$，

$$d^2=\Vert {\alpha }_i-{\alpha }_j{\Vert }^2=\Vert {\beta }_i-{\beta }_j{\Vert }^2=\Vert {\beta }_i{\Vert }^2+\Vert {\beta }_j{\Vert }^2-2({\beta }_i,{\beta }_j),$$

故 $({\beta }_i,{\beta }_j)=d^2/2(1\le i\ne j\le n)$。

(2) 注意到 ${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n$ 的 Gram 矩阵 $G=G({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n)$ 的主对角元全为 $d^2$，其余元素全为 $d^2/2$， 用求和法可计算出

$$|G|=\frac{(n+1)d^{2n}}{2^n}>0,$$

故由例 9.5 可知 ${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n$ 线性无关，从而是 $V$ 的一组基。