例 9.8

依赖于

• 例 9.1
• 例 9.5
• 例 8.48

被以下题目直接调用

• 无

例 9.8

设 $V$ 是实系数多项式全体构成的实线性空间，任取

$$f(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n,g(x)=b_0+b_{1}x+\cdots +b_m{x}^m,$$

证明：如下定义的二元运算是 $V$ 上的内积：

$$(f,g)=\sum _{i,j}\frac{a_i{b}_j}{i+j+1}.$$

解答

证明 容易验证

$$(f(x),g(x))={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx,$$

故由例 9.1 (5) 即得结论。因为 $1,x,\cdots ,x^{n-1}$ 是 $V$ 中一组线性无关的向量，所以由例 9.5 知其 Gram 矩阵 $A={\left(\frac{1}{i+j-1}\right)}_{n\times n}$ 是一个正定阵，这也给出了例 8.48 (2) 的几何证明。$\square$