例 8.48

依赖于

• 例 1.18

被以下题目直接调用

• 第 8 章解答题 9
• 例 9.8

例 8.48

求证：下列 $n$ 阶实对称矩阵 $A=(a_{ij})$ 都是正定阵，其中

$$(1)a_{ij}=\frac{1}{i+j};(2)a_{ij}=\frac{1}{i+j-1}.$$

解答

证明 (1) 注意到 $A$ 的 $n$ 个顺序主子式都是具有相同形状的 Cauchy 行列式，故要证明它们全大于零， 只要证明 $A$ 的行列式大于零即可。在例 1.18 中，令 $a_i=b_i=i(1\le i\le n)$，可得

$$|A|=\frac{{\prod }_{1\le i<j\le n}(j-i{)}^2}{{\prod }_{i,j=1}^n(i+j)}>0,$$

因此 $A$ 为正定阵。

(2) 同理在例 1.18 中，令 $a_i=b_i=i-\frac{1}{2}(1\le i\le n)$，可得

$$|A|=\frac{{\prod }_{1\le i<j\le n}(j-i{)}^2}{{\prod }_{i,j=1}^n(i+j-1)}>0,$$

因此 $A$ 为正定阵。$\square$