例 9.34

依赖于

• 例 9.5

被以下题目直接调用

• 无

例 9.34

试构造下列内积空间之间的保积同构：

(1) $M_n(\mathbb{R})$（取 Frobenius 内积）与 ${\mathbb{R}}^{n^2}$（取标准内积）；

(2) $M_n(\mathbb{C})$（取 Frobenius 内积）与 ${\mathbb{C}}^{n^2}$（取标准内积）；

(3) $V=\mathbb{R}[x]$（取 $[0,1]$ 区间的积分内积）与 $U=\mathbb{R}[x]$（取例 9.1 (6) 中的内积）。

解答

解 (1) 取 $M_n(\mathbb{R})$ 中基础矩阵 $\{E_{ij}\}$ 构成的标准正交基，则将任一 $A=(a_{ij})$ 映射为在上述基下的坐标向量 $(a_{11},a_{12},\cdots ,a_{1n},\cdots ,a_{n1},a_{n2},\cdots ,a_{nn}{)}^{\prime }$ 的线性映射 $\psi :M_n(\mathbb{R})\to {\mathbb{R}}^{n^2}$ 是线性同构。对任意的 $B=(b_{ij})\in M_n(\mathbb{R})$，有

$$(\psi (A),\psi (B))=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{b}_{ij}=(A,B),$$

故 $\psi :M_n(\mathbb{R})\to {\mathbb{R}}^{n^2}$ 是保积同构。

(2) 同理可证复矩阵的情形。

(3) 设线性无关向量组 $\{1,x,\cdots ,x^n\}$ 在 $[0,1]$ 区间的积分内积下的 Gram 矩阵为 $A=(a_{ij})$，其中

$$a_{ij}=\frac{1}{i+j-1}(1\le i,j\le n+1).$$

由例 9.5 可知，$A$ 是正定阵，取其 Cholesky 分解 $A=C^{\prime }C$，其中 $C=(c_{ij})$ 是主对角元全大于零的上三角矩阵。我们先构造一个线性同构 $\psi :V\to U$，对任意的 $f(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$，定义

$$\begin{array}{rl}\psi (f(x))=& a_0{c}_{11}+a_1(c_{12}+c_{22}x)+\cdots \\ & +a_n(c_{1,n+1}+c_{2,n+1}x+\cdots +c_{n+1,n+1}{x}^n),\end{array}$$

即

$$(\psi (1),\psi (x),\cdots ,\psi (x^n))=(1,x,\cdots ,x^n)C.$$

容易证明 $A$ 的第 $r$ 个顺序主子阵的 Cholesky 分解恰由 $C$ 的第 $r$ 个顺序主子阵决定 （这仍然是一个上三角矩阵）。若取线性无关向量组 $\{1,x,\cdots ,x^m\}$，则按照上述方法定义出来的 $\psi (1),\psi (x),\cdots ,\psi (x^m)$ 与已定义的 $\psi (1),\psi (x),\cdots ,\psi (x^n)$ 的前面部分总是相同的。因此 $\psi$ 的定义不依赖于 $n$ 的选取，并且容易验证 $\psi$ 是 $V\to U$ 的线性映射。再由 $C$ 的非异性容易证明 $\psi :V\to U$ 是线性同构。任取 $f(x),g(x)\in V$，若设某些系数为零，则可将它们都写成统一的形式： $f(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n,g(x)=b_0+b_{1}x+\cdots +b_n{x}^n$。记 $\alpha =(a_0,a_1,\cdots ,a_n{)}^{\prime }$，$\beta =(b_0,b_1,\cdots ,b_n{)}^{\prime }$，则由内积的定义可得

$$(\psi (f(x)),\psi (g(x)))=(C\alpha {)}^{\prime }(C\beta )={\alpha }^{\prime }(C^{\prime }C)\beta ={\alpha }^{\prime }A\beta =(f(x),g(x)),$$

因此 $\psi :V\to U$ 是保积同构。$\square$