例 8.57

依赖于

• 例 8.26
• 例 8.56

被以下题目直接调用

• 无

例 8.57

设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，$A=(B,C)$ 是 $A$ 的一个分块，其中 $B$ 是 $A$ 的前 $k$ 列组成的矩阵， $C$ 是 $A$ 的后 $n-k$ 列组成的矩阵。求证：

$$|A{|}^2\le |B^{\prime }B||C^{\prime }C|.$$

解答

证明 若 $A$ 不是可逆矩阵，则 $|A|=0$，而由定义容易验证 $B^{\prime }B,C^{\prime }C$ 都是半正定阵，故由例 8.26 可得 $|B^{\prime }B|\ge 0,|C^{\prime }C|\ge 0$，从而上式显然成立。现设 $A$ 是可逆矩阵，则由例 8.26 可知

$$A^{\prime }A=\left(\begin{array}{cc}{B}^{\prime }B& B^{\prime }C\\ C^{\prime }B& C^{\prime }C\end{array}\right)$$

是正定阵，再由例 8.56 即得结论。$\square$