例 9.52

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• 例 9.53
• 例 9.54
• 例 9.55
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• 例 9.57
• 例 9.58
• 例 9.65

例 9.52

设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，其特征值为 ${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \cdots \le {\lambda }_n$，求证：对任意的 $n$ 维实列向量 $\alpha$，均有

$${\lambda }_1{\alpha }^{\prime }\alpha \le {\alpha }^{\prime }A\alpha \le {\lambda }_n{\alpha }^{\prime }\alpha ,$$

且前一个不等式等号成立的充要条件是 $\alpha$ 属于特征值 ${\lambda }_1$ 的特征子空间，后一个不等式 等号成立的充要条件是 $\alpha$ 属于特征值 ${\lambda }_n$ 的特征子空间。

解答

证明 设 $P$ 为正交矩阵，使得 $P^{\prime }AP=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\}$。 对任意的实列向量 $\alpha$，设 $\beta =P^{\prime }\alpha =(b_1,b_2,\cdots ,b_n{)}^{\prime }$，则

$$\begin{array}{rl}{\alpha }^{\prime }A\alpha & ={\beta }^{\prime }(P^{\prime }AP)\beta ={\lambda }_1{b}_1^2+{\lambda }_2{b}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{b}_n^2\\ & \le {\lambda }_n{b}_1^2+{\lambda }_n{b}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{b}_n^2={\lambda }_n{\beta }^{\prime }\beta ={\lambda }_n(P^{\prime }\alpha {)}^{\prime }(P^{\prime }\alpha )={\lambda }_n{\alpha }^{\prime }\alpha .\end{array}$$

等号成立的充要条件是若 ${\lambda }_i\ne {\lambda }_n$，则 $b_i=0$，这也等价于 $\alpha$ 属于特征值 ${\lambda }_n$ 的特征子空间。同理可证前一个不等式及其等号成立的充要条件。$\square$