例 9.56

依赖于

• 例 9.52

被以下题目直接调用

• 无

例 9.56

设 $A_1,\cdots ,A_k$ 是 $n$ 阶实矩阵，$A_i^{\prime }{A}_i$ 的特征值为

$${\mu }_{i1}\le {\mu }_{i2}\le \cdots \le {\mu }_{in},1\le i\le k.$$

求证：若 $\lambda$ 是 $A_1\cdots A_k$ 的特征值，则

$$\sqrt{{\mu }_{11}\cdots {\mu }_{k1}}\le |\lambda |\le \sqrt{{\mu }_{1n}\cdots {\mu }_{kn}}.$$

解答

证明 设 $\alpha$ 是 $A_1\cdots A_k$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量，即有 $A_1\cdots A_k\alpha =\lambda \alpha$，将此式共轭转置可得 $\overline{{\alpha }^{\prime }}{A}_k^{\prime }\cdots A_1^{\prime }=\overline{\lambda }\overline{{\alpha }^{\prime }}$，再将上述两式乘在一起可得

$$\overline{{\alpha }^{\prime }}{A}_k^{\prime }\cdots A_1^{\prime }{A}_1\cdots A_k\alpha =|\lambda {|}^2\overline{{\alpha }^{\prime }}\alpha ,$$

最后对 $A_i^{\prime }{A}_i(1\le i\le k)$ 应用例 9.52（Hermite 矩阵版本）即得结论。$\square$