例 9.53

依赖于

• 例 9.52

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• 无

例 9.53

设 $A,B$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，其特征值分别为

$${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \cdots \le {\lambda }_n,{\mu }_1\le {\mu }_2\le \cdots \le {\mu }_n.$$

求证：$A+B$ 的特征值全落在 $[{\lambda }_1+{\mu }_1,{\lambda }_n+{\mu }_n]$ 中。

解答

证明 由例 9.52 可知，对任意的 $n$ 维实列向量 $\alpha$，有 ${\alpha }^{\prime }A\alpha \le {\lambda }_n{\alpha }^{\prime }\alpha$，${\alpha }^{\prime }B\alpha \le {\mu }_n{\alpha }^{\prime }\alpha$。 因为 $A+B$ 仍是实对称矩阵，故其特征值全为实数。任取 $A+B$ 的实特征值 $\nu$ 及其特征向量 $\beta$，则 ${\beta }^{\prime }(A+B)\beta =\nu {\beta }^{\prime }\beta$。注意到

$${\beta }^{\prime }(A+B)\beta ={\beta }^{\prime }A\beta +{\beta }^{\prime }B\beta \le {\lambda }_n{\beta }^{\prime }\beta +{\mu }_n{\beta }^{\prime }\beta =({\lambda }_n+{\mu }_n){\beta }^{\prime }\beta ,$$

且 ${\beta }^{\prime }\beta >0$，故 $\nu \le {\lambda }_n+{\mu }_n$。同理可证 $\nu \ge {\lambda }_1+{\mu }_1$。$\square$