例 9.58

依赖于

• 例 9.52

被以下题目直接调用

• 无

例 9.58

设 $n$ 阶实对称矩阵 $A=(a_{ij})$ 为非负矩阵，即所有的元素 $a_{ij}\ge 0$，且 $A$ 的全体特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，求证：存在某个特征值 ${\lambda }_j=\rho (A)={\max }_{1\le i\le n}|{\lambda }_i|$，并可取到 ${\lambda }_j$ 的某个特征向量 $\beta$ 为非负向量，即 $\beta$ 的所有元素都大于等于零。

解答

证明 任取一个特征值 ${\lambda }_k$，使得 $|{\lambda }_k|={\max }_{1\le i\le n}|{\lambda }_i|$，并取 ${\lambda }_k$ 的特征向量 $\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_n{)}^{\prime }$，即有 $A\alpha ={\lambda }_k\alpha$，于是 ${\alpha }^{\prime }A\alpha ={\lambda }_k{\alpha }^{\prime }\alpha$。 以下不妨设 ${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \cdots \le {\lambda }_n$，令 $\beta =(|a_1|,|a_2|,\cdots ,|a_n|{)}^{\prime }$，则 $\beta$ 是非负向量且 ${\beta }^{\prime }\beta ={\sum }_{i=1}^n{a}_i^2={\alpha }^{\prime }\alpha$。注意到 $a_{ij}\ge 0(1\le i,j\le n)$，故由例 9.52 可得如下不等式：

$$\begin{array}{rl}|{\lambda }_k|{\alpha }^{\prime }\alpha & =|{\lambda }_k{\alpha }^{\prime }\alpha |=|{\alpha }^{\prime }A\alpha |=\left|\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{a}_i{a}_j\right|\\ & \le \sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}|a_i||a_j|={\beta }^{\prime }A\beta \le {\lambda }_n{\beta }^{\prime }\beta ={\lambda }_n{\alpha }^{\prime }\alpha .\end{array}$$

于是 ${\lambda }_n\ge |{\lambda }_k|\ge 0$。再由假设可知 ${\lambda }_n=|{\lambda }_k|={\max }_{1\le i\le n}|{\lambda }_i|$，因此上述不等式取等号。 特别地，${\beta }^{\prime }A\beta ={\lambda }_n{\beta }^{\prime }\beta$，故由例 9.52 中不等式取等号的充要条件可知， $\beta$ 就是属于特征值 ${\lambda }_n$ 的非负特征向量。$\square$