例 9.57

依赖于

• 例 9.52

被以下题目直接调用

• 无

例 9.57

设 $n$ 阶复矩阵 $M$ 的全体特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，则 $M$ 的谱半径 $\rho (M)$ 定义为 $\rho (M)={\max }_{1\le i\le n}|{\lambda }_i|$。设 $A,B,C$ 为 $n$ 阶实矩阵，使得

$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B^{\prime }& C\end{array}\right)$$

为半正定实对称矩阵，证明：$\rho (B{)}^2\le \rho (A)\rho (C)$。

解答

证明 我们先来处理

$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B^{\prime }& C\end{array}\right)$$

为正定实对称矩阵的情形。此时，$A,C$ 都是正定阵， 设它们的全体特征值分别为

$${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \cdots \le {\lambda }_n,{\nu }_1\le {\nu }_2\le \cdots \le {\nu }_n,$$

则 $\rho (A)={\lambda }_n,\rho (C)={\nu }_n$ 且 $A^{-1}$ 的全体特征值为 ${\lambda }_n^{-1}\le {\lambda }_{n-1}^{-1}\le \cdots \le {\lambda }_1^{-1}$。考虑如下对称分块初等变换：

$$\left(\begin{array}{cc}{I}_n& O\\ -B^{\prime }{A}^{-1}& I_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B^{\prime }& C\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{I}_n& -A^{-1}B\\ O& I_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& C-B^{\prime }{A}^{-1}B\end{array}\right),$$

由

$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B^{\prime }& C\end{array}\right)$$

是正定阵可知，$C-B^{\prime }{A}^{-1}B$ 也是正定阵。 任取 $B$ 的特征值 $\mu \in \mathbb{C}$ 及其特征向量 $\beta \in {\mathbb{C}}^n$，即有 $B\beta =\mu \beta$ 以及 $\overline{{\beta }^{\prime }}{B}^{\prime }=\overline{\mu }\overline{{\beta }^{\prime }}$。 将 $C-B^{\prime }{A}^{-1}B$ 看成是正定 Hermite 矩阵，则有 $\overline{{\beta }^{\prime }}(C-B^{\prime }{A}^{-1}B)\beta >0$，再由例 9.52（Hermite 矩阵版本）可得

$${\nu }_n\overline{{\beta }^{\prime }}\beta \ge \overline{{\beta }^{\prime }}C\beta >\overline{{\beta }^{\prime }}{B}^{\prime }{A}^{-1}B\beta =|\mu {|}^2\overline{{\beta }^{\prime }}{A}^{-1}\beta \ge |\mu {|}^2{\lambda }_n^{-1}\overline{{\beta }^{\prime }}\beta .$$

注意到 $\overline{{\beta }^{\prime }}\beta >0$，故 $|\mu {|}^2<{\lambda }_n{\nu }_n$，即 $|\mu {|}^2<\rho (A)\rho (C)$，于是 $\rho (B{)}^2<\rho (A)\rho (C)$。

我们用摄动法来处理半正定的情形。对任意的正实数 $t$，

$$\left(\begin{array}{cc}A+t{I}_n& B\\ B^{\prime }& C+t{I}_n\end{array}\right)$$

是正定阵，从而由正定情形的结论可知

$$\rho (B{)}^2<\rho (A+t{I}_n)\rho (C+t{I}_n)=(\rho (A)+t)(\rho (C)+t),$$

令 $t\to 0+$ 即得 $\rho (B{)}^2\le \rho (A)\rho (C)$。$\square$