例 9.39

依赖于

• 例 9.38
• 例 9.40
• 例 9.41
• 例 9.42
• 例 9.43

被以下题目直接调用

• 例 9.38

例 9.39

设 $A,B$ 是 $m\times n$ 实矩阵，求证：$A^{\prime }A=B^{\prime }B$ 的充要条件是存在 $m$ 阶正交矩阵 $Q$， 使得 $A=QB$。

解答

证明 充分性显然成立，下证必要性。取 $V={\mathbb{R}}^m$ 上的标准内积，设 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n),B=({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)$ 为列分块，则由 $A^{\prime }A=B^{\prime }B$ 可得 $G({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)=G({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)$， 再由例 9.38 可知，存在 $V$ 上的正交变换 $\phi$，使得 $\phi ({\beta }_i)={\alpha }_i(1\le i\le n)$。设 $\phi$ 在 $V$ 的标准单位列向量构成的 标准正交基下的表示矩阵为 $Q$，则 $Q$ 为正交矩阵且 $Q{\beta }_i={\alpha }_i(1\le i\le n)$， 因此

$$QB=(Q{\beta }_1,Q{\beta }_2,\cdots ,Q{\beta }_n)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)=A.$$

镜像变换是一种正交变换，它特别简单，容易研究，而一般的正交变换都可以表示为镜像变换之积， 这就使它在正交变换中显得特别重要。例 9.40 介绍了镜像变换的定义，例 9.41 介绍了镜像矩阵的定义以及和镜像变换的基本关系， 例 9.42 是常用的构造镜像变换的方法；例 9.43 是一个著名的结论，称为 Cartan-Dieudonne 定理， 它把正交变换（正交矩阵）表示为若干个镜像变换（镜像矩阵）之积。证明采用数学归纳法，这也是处理这类问题的常用方法。