例 9.38

依赖于

• 例 9.35
• 例 9.36
• 例 9.37
• 例 9.39

被以下题目直接调用

• 例 9.39

例 9.38

设 $V,U$ 都是 $n$ 维欧氏空间，$\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m\}$ 和 $\{{\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_m\}$ 分别是 $V$ 和 $U$ 中的向量组。证明：存在保积同构 $\phi :V\to U$，使得

$$\phi ({\alpha }_i)={\beta }_i(1\le i\le m)$$

成立的充要条件是这两组向量的 Gram 矩阵相等。

解答

证明 必要性类似于例 9.35 的必要性的证明，下证充分性。设向量组 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m\}$ 和 $\{{\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_m\}$ 有相同的 Gram 矩阵， $V_1=L({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m)$，$U_1=L({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_m)$。 设 $\{{\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\cdots ,{\alpha }_{i_r}\}$ 是向量组 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m\}$ 的极大无关组，若设 $c_1{\beta }_{i_1}+c_2{\beta }_{i_2}+\cdots +c_r{\beta }_{i_r}=0$，则由例 9.36 (2) 可得 $c_1{\alpha }_{i_1}+c_2{\alpha }_{i_2}+\cdots +c_r{\alpha }_{i_r}=0$，从而 $c_1=c_2=\cdots =c_r=0$，即 ${\beta }_{i_1},{\beta }_{i_2},\cdots ,{\beta }_{i_r}$ 线性无关；又对任意的 $i\ne i_1,i_2,\cdots ,i_r$，若设 ${\alpha }_i=a_1{\alpha }_{i_1}+a_2{\alpha }_{i_2}+\cdots +a_r{\alpha }_{i_r}$，则由例 9.36 (2) 可得 ${\beta }_i=a_1{\beta }_{i_1}+a_2{\beta }_{i_2}+\cdots +a_r{\beta }_{i_r}$，于是 $\{{\beta }_{i_1},{\beta }_{i_2},\cdots ,{\beta }_{i_r}\}$ 也是向量组 $\{{\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_m\}$ 的极大无关组，从而 $\{{\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\cdots ,{\alpha }_{i_r}\}$ 和 $\{{\beta }_{i_1},{\beta }_{i_2},\cdots ,{\beta }_{i_r}\}$ 分别是 $V_1,U_1$ 的一组基。 定义线性映射 ${\phi }_1:V_1\to U_1$ 为 ${\phi }_1({\alpha }_{i_k})={\beta }_{i_k}(1\le k\le r)$，则由例 9.35 的充分性可知， ${\phi }_1:V_1\to U_1$ 是保积同构。对任意的 $i\ne i_1,i_2,\cdots ,i_r$，

$${\phi }_1({\alpha }_i)={\phi }_1\left(\sum _{k=1}^r{a}_k{\alpha }_{i_k}\right)=\sum _{k=1}^r{a}_k{\phi }_1({\alpha }_{i_k})=\sum _{k=1}^r{a}_k{\beta }_{i_k}={\beta }_i,$$

从而 ${\phi }_1({\alpha }_i)={\beta }_i(1\le i\le m)$。注意到 $V=V_1\perp V_1^{\perp },U=U_1\perp U_1^{\perp }$，故可取 $V_1^{\perp }$ 的一组标准正交基 ${\gamma }_{r+1},\cdots ,{\gamma }_n$，$U_1^{\perp }$ 的一组标准正交基 ${\delta }_{r+1},\cdots ,{\delta }_n$，定义线性映射 ${\phi }_2:V_1^{\perp }\to U_1^{\perp }$ 为 ${\phi }_2({\gamma }_j)={\delta }_j(r+1\le j\le n)$，则 ${\phi }_2:V_1^{\perp }\to U_1^{\perp }$ 也是保积同构。下面定义线性映射 $\phi :V\to U$，对任一 $v=\alpha +\gamma \in V$，其中 $\alpha \in V_1,\gamma \in V_1^{\perp }$，定义

$$\phi (v)={\phi }_1(\alpha )+{\phi }_2(\gamma ),$$

容易验证 $\phi :V\to U$ 是线性同构。我们还有

$$\begin{array}{rl}(\phi (v),\phi (v))& =({\phi }_1(\alpha )+{\phi }_2(\gamma ),{\phi }_1(\alpha )+{\phi }_2(\gamma ))\\ & =({\phi }_1(\alpha ),{\phi }_1(\alpha ))+({\phi }_2(\gamma ),{\phi }_2(\gamma ))\\ & =(\alpha ,\alpha )+(\gamma ,\gamma )=(\alpha +\gamma ,\alpha +\gamma )=(v,v),\end{array}$$

故 $\phi :V\to U$ 保持范数，从而是满足题目条件的保积同构。$\square$

\par注 若设 $\{{\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\cdots ,{\alpha }_{i_r}\}$ 是向量组 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m\}$ 的极大无关组，则由例 9.36 (1) 可以直接得到 $\{{\beta }_{i_1},{\beta }_{i_2},\cdots ,{\beta }_{i_r}\}$ 也是向量组 $\{{\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_m\}$ 的极大无关组。

例 9.38 具有十分明显的几何意义，并且它的证明是构造性的，从而可用来构造满足某些条件的保积同构。 例 9.37 的解法 2 和例 9.39 是两个应用。

例 9.37 的解法 2 设 $A=(u_1,u_2,u_3,u_4)$ 为列分块，容易验证 $\{u_1,u_2,u_4\}$ 是 $A$ 的列向量的极大无关组。 设 $U=L(u_1,u_2,u_3,u_4)$，则 $U$ 是 ${\mathbb{R}}^4$（取标准内积）的三维子空间，并且 $A^{\prime }A$ 就是列向量组 $\{u_1,u_2,u_3,u_4\}$ 的 Gram 矩阵。由假设 $G({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)=G(u_1,u_2,u_3,u_4)$，故由例 9.38 可知， 存在一个从 $V$ 的三维子空间 $W$ 到 $U$ 上的保积同构 $\phi$，使得 $\phi ({\alpha }_i)=u_i(1\le i\le 4)$。由于保积同构保持极大无关组的下指标，并且保持对应向量在 Gram-Schmidt 正交化和标准化过程中出现的所有系数（参考例 9.36 (3)），故 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4\}$ 就是向量组 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4\}$ 的极大无关组，并且求 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4\}$ 与 Gram-Schmidt 正交化方法得到的标准正交向量组 $\{{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_4\}$ 之间的线性关系等价于求 $\{u_1,u_2,u_4\}$ 与 Gram-Schmidt 正交化方法得到的标准正交向量组 $\{w_1,w_2,w_4\}$ 之间的线性关系。经计算可得

$$(w_1,w_2,w_4)=(u_1,u_2,u_4)P,P=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& -\frac{3}{\sqrt{30}}& -\frac{1}{\sqrt{6}}\\ 0& \frac{1}{\sqrt{30}}& -\frac{1}{\sqrt{6}}\\ 0& 0& \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right),$$

因此 $({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_4)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4)P$。$\square$