例 9.41

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• 例 9.40

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• 例 9.39
• 第 9 章填空题 8

例 9.41

设 $n$ 阶矩阵 $M=I_n-2\alpha {\alpha }^{\prime }$，其中 $\alpha$ 是 $n$ 维实列向量且 ${\alpha }^{\prime }\alpha =1$， 这样的 $M$ 称为镜像矩阵。设 $\phi$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的线性变换，求证： $\phi$ 是镜像变换的充要条件是 $\phi$ 在 $V$ 的某一组（任一组）标准正交基下的表示矩阵为镜像矩阵。

解答

证明 先证必要性。设 $\phi$ 是镜像变换，则由例 9.40 可知，$\phi$ 在 $V$ 的某一组标准正交基下的表示矩阵 $A=\mathrm{diag}\{-1,1,\cdots ,1\}=I_n-2\beta {\beta }^{\prime }$，其中 $\beta =(1,0,\cdots ,0{)}^{\prime }$。设 $\phi$ 在 $V$ 的任一组标准正交基下的表示矩阵为 $M$， 则 $M$ 和 $A$ 正交相似，即存在正交矩阵 $P$，使得 $M=PA{P}^{\prime }$，于是

$$M=P(I_n-2\beta {\beta }^{\prime })P^{\prime }=I_n-2(P\beta )(P\beta {)}^{\prime }.$$

令 $\alpha =P\beta$，则 $\alpha$ 的长度为 $1$ 且 $M=I_n-2\alpha {\alpha }^{\prime }$。

再证充分性。设 $\phi$ 在 $V$ 的某一组标准正交基 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$ 下的表示矩阵为 $M=I_n-2\alpha {\alpha }^{\prime }$，其中 ${\alpha }^{\prime }\alpha =1$。设 $\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_n{)}^{\prime }$，令 $v=a_1{e}_1+a_2{e}_2+\cdots +a_n{e}_n$。对 $V$ 中任一向量 $x=b_1{e}_1+b_2{e}_2+\cdots +b_n{e}_n$，记 $\beta =(b_1,b_2,\cdots ,b_n{)}^{\prime }$，则

$$M\beta =\beta -2\alpha {\alpha }^{\prime }\beta =\beta -2(\alpha ,\beta )\alpha .$$

由线性变换和表示矩阵的一一对应可得

$$\phi (x)=x-2(v,x)v,$$

注意到 $v$ 的长度为 $1$，故 $\phi$ 是镜像变换。$\square$