例 9.40

依赖于

• 例 9.26

被以下题目直接调用

• 例 9.39
• 例 9.41

例 9.40

(1) 设 $v$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中长度为 $1$ 的向量，定义线性变换：

$$\phi (x)=x-2(v,x)v,$$

证明：$\phi$ 是正交变换且 $\det \phi =-1$；

(2) 设 $\psi$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的正交变换，$1$ 是 $\psi$ 的特征值且几何重数等于 $n-1$，证明：必存在 $V$ 中长度为 $1$ 的向量 $v$，使得

$$\psi (x)=x-2(v,x)v.$$

解答

证明 (1) 取 $e_1=v$，并将它扩张为 $V$ 的一组标准正交基 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$，则 $\phi (e_1)=-e_1,\phi (e_i)=e_i(i>1)$，于是 $\phi$ 在这组标准正交基下的表示矩阵为 $\mathrm{diag}\{-1,1,\cdots ,1\}$。这是一个正交矩阵，因此 $\phi$ 是正交变换且行列式值为 $-1$。

(2) 设 $\psi$ 的属于特征值 $1$ 的特征子空间为 $V_1$，由假设 $\dim V_1=n-1$，取 $V_1$ 的一组标准正交基 $e_2,\cdots ,e_n$，则 $\psi (e_i)=e_i(2\le i\le n)$。设 $V_1^{\perp }=L(e_1)$，其中 $e_1$ 是单位向量， 则 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$ 是 $V$ 的一组标准正交基。注意到 $V_1$ 是 $\psi$ 的不变子空间， 故由例 9.26 可知，$V_1^{\perp }=L(e_1)$ 是 ${\psi }^{\ast }={\psi }^{-1}$ 的不变子空间， 从而也是 $\psi$ 的不变子空间，于是 $e_1$ 是 $\psi$ 的特征向量。设 $\psi (e_1)={\lambda }_1{e}_1$，其中特征值 ${\lambda }_1$ 为实数。由于 $\psi$ 是正交变换， 故 ${\lambda }_1$ 等于 $1$ 或 $-1$。若 ${\lambda }_1=1$，则 $\psi (e_1)=e_1$， 从而 $\psi$ 的属于特征值 $1$ 的特征子空间将是 $V$，这与假设矛盾。因此 ${\lambda }_1=-1$，即有 $\psi (e_1)=-e_1$。令 $v=e_1$，作线性变换

$$\phi (x)=x-2(v,x)v,$$

不难验证 $\psi (e_i)=\phi (e_i)(1\le i\le n)$ 成立，故 $\psi =\phi$。$\square$